Théorèmes et formules

 

Dans cette page, appelée à être enrichie au fil du temps,

vous trouverez quelques théorèmes de géométrie et

leur démonstration ( elle est associée à l'appliquette)

ainsi que pour chacun, une appliquette interactive vous

permettant d'expérimenter le théorème.

 

Pour ouvrir le .GGB il vous faut tout simplement "double cliquer"

dans le .HTML ouvert pour atteindre le ficher .GGB

 

Liste des théorèmes


Théorème de Bottema

Bottema

Le point milieu H du segment B aA b, construit en joignant les coins adjacents B a et A b à A et B des carrés construits sur les côtés AC et BC du triangle ABC, est indépendant de la position du point C

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Théorème de Brahamapugta

Brahmapugta

Dans un quadrilatère circonscriptible dont les diagonales sont perpendiculaires, la perpendiculaire issue du point d'intersection des diagonales abaissée sur un côté, coupe le côté opposé en son milieu.

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Théorème de Carnot

Carnot

Dans un triangle ABC, la somme des segments joignant le centre du cercle circonscrit aux milieu des côtés est égal à la somme des rayons des cercles circonscrit et inscrit 

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Théorème de F. van Schotten

VanSch

Dans un triangle équilatéral ABC, un point P, sur le cercle circonscrit détermine trois segments AP, BP, CP tel que le plus grand d'entre eux est égal à la somme des deux autres.

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Théorème de Ptolémée

Ptolemee

Dans un quadrilatère circonscriptible le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés

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Théorème de Markowsky

Markowsky

Dans un triangle, le produit du rayon du cercle circonscrit par le carré de celui du cercle inscrit est égal à deux fois le produit des hauteurs des segments circulaires délimités par les côtés du triangle et le cercle circonscrit.

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Centres de cercles inscrits

Cercles_inscrits

Dans un quadrilatère cyclique, les diagonales AC et BD
déterminent 4 triangles: ∆ABC, ∆BCD, ∆CDA et ∆DAB.
Les centres des cercles inscrits dans ceux-ci forment
toujours un rectangle

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Théorème de Gergonne

Gergonne

Un point K,  à l'intérieur  du ∆ABC, détermine 3 céviennes
AD, BE et CF, alors on a:

KD/AD + KE/BE + KF/CF = 1

et

AK/AD + BK/BE + CK/CF = 2

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Théorème de Van Aubel (I)

Vanaubel

Un point K,  à l'intérieur  du ∆ABC, détermine 3 céviennes
AD, BE et CF, alors on a:

AK/KD = AF/FB + AE/EC

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Théorème  papillon

Papillon

Le milieu M de la corde PQ d'un cercle est le point
de concours de deux autres cordes AB et CB,  les
cordes AD et CB coupent PQ en X et en Y.
Alors M divise le segment XY en deux parties égales

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Théorème  de Casey

Casey

Quatre cercles non séquants tangents tous 4
intérieurement à un 5 ème, on note t_{ij} les
segments tangents à C_i et C_j alors on a:

t12 t34 +t41 t23 = t 13 t42

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Théorème  de Stewart

Stuart

Soit un triangle ABC et une cévienne p = AX alors, le théorème de Stuart dit:

a (ef +p²) = fc² + eb²

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Théorème  de Pitot

Pitot

Dans un quadrilatère inscritptible, la somme de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres

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Théorème de Ceva

Ceva

Soit M, un point du plan,  et les 3 céviennes
AM, BM et CM alors:
Dans tous triangles ABC on a la relation

AF/FB *DB/DC * EC/EA = 1

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Théorème de Menelaus

Melenaus

Dans tout triangles on à la relation:
AF/FB · BD/DC · CE/EA = 1

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Théorème  de van Aubel (II)

Van_Aubel2

Soit un quadrilatère ABCD, les segments joignant
les centres des carrés construits sur deux côtés
opposés sont égaux et perpendiculaires.

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Théorème  des cordes sécantes

Cordes_secantes

Soient AB et CD, 2 cordes du même cercle
et P, un point du plan, alors:
AP * DP = BP * CP

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Propriété miroir

Miroir

Soit un triangle ABC et un point E sur la hauteur issue de C,
qui coupe BC en D.
En menant les céviennes AE et BE, elles coupent les côtés
AC et BC ou leur prolongement respectivement en G et en F
Alors:
La droite DE est bissectrice de ∡GDF

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Théorème de Finsler - Hadwiger

Finsler

Soient 2 carrés OABC et ODEF partageant O comme
sommet commun, J et L sont respectivement les
milieux de AD et CF et G et H les centres respectifs
des carrés OABC et  ODEF, alors le quadrilatère GJHL
est un carré

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Théorème des angles sécants

Angles_sequants

Propriété des angles sécants

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Formule de Euler

Euler

Comme dans toutes les formules, l'énoncé
tient en:
2Rr = R² - d² qui s'écrit aussi: 1/(R - d) + 1/(R + d) = 1/r

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Eyeballs

Globes

Soient deux cercles, on mène, du centre
de chacun les 2 tangentes au cercle
opposés, alors:
IJ = LK

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Eyesquinting

Loucheurs

Soient deux cercles, on mène, du centre
de chacun les 2 tangentes au cercle
opposés, alors:
IJ = LK

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Pascal

Pascal

Si un hexagone est inscrit dans un cercle (c'est
vrai aussi pour toutes coniques), alors les 3 points
d'intersection de chaque paires de côtés opposés
ou leurs prolongements sont colinéaires

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Haruki

Haruki

Les 6 cordes communes de trois cercles sécants
concourent en un point, le centre radical et les
points d'intersection des trois cercles forment une
étoile dans laquelle on a la relation:

a / b  ·  c / d  ·  e / f = 1

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