Les coordonnées trilinéaires

 

Les coordonnées trilinéaires sont un système de coordonnées homogènes introduit par le mathématicien Plücker en 1835.

Soit un triangle de référence ABC, entièrement connu (a, b et c, ses côtés et α, β, et γ, ses angles) et un point P du plan de coordonnées trilinéaires P = (x:y:z).

Soit un nombre réel k ≠ 0, arbitraire, on peut écrire a' = k x, b' = k y et c' = k z et on voit sur le dessin que:

Tril_fig1

Nous avons donc une dépendance entre k et le triangle de référence ABC.

Dans tout triangle le point P(1 : 1 : 1) représente le centre du cercle inscrit, on peut donc le tracer sur le plan en déterminant le facteur k correspondant:

k=2 Aire ABC/(a+b+c)

Traçons les vecteurs unitaires orthogonaux u, v et w respectivement aux côtes a, b et c du triangle ABC, et le point P se trouve à l'intersection des droites perpendiculaires aux vecteurs:

r = p k A1 u, s= p k B1 v et t = p k C1 w,

rapportés respectivement aux sommets B, C et A.

A1, B1 et C1 étant les cellules du tableur contenant les coordonnées trilinéaires (x:y:z) du point P, ici (1,1,1)

et p étant un facteur déterminant le sens trigonométrique du placement des points A, B et C.

Dans l'applliquette ci-dessous, vous pouvez déplacer les sommets du triangle, le point P est toujours le centre du cercle inscrit.

 

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Jean-Paul Baehler, Créé avec GeoGebra

 

Dans l'appliquette suivante, nous avons la possibilité d'expérimenter:

Entrez les coordonnées trilinéaire du point voulu soit, directement dans le tableur soit à l'aide de la barre de saisie sous la forme:

An=... enter, puis Bn=... enter et Cn=... enter et avec l'outil TrilPoint, marquez le points A, B et C puis à l'invite taper A1 enter, B1 enter et C1 enter.

Le deuxième outil: "TrilBase" vous dessine un triangle complet (avec la valeur des angles)

 

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Voici quelques exemples des coordonnées trilinéaires de plusieurs points caractéristiques du triangle.

Triqqp

 

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